Πεάνο, Τζουζέπε

(Peano, Giuseppe, Γκούνεο 1858 – Τορίνο 1932). Ιταλός μαθηματικός. Διετέλεσε καθηγητής της μαθηματικής ανάλυσης στο Πανεπιστήμιο του Τορίνο. Η σοβαρότητα και η πρωτοτυπία των ερευνών του τον οδήγησαν συχνά έξω από τα όρια της χώρας του. Ασχολήθηκε ιδιαίτερα με τη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων, αλλά η μεγάλη του συμβολή αναφέρεται σε προβλήματα της λογικής και της θεμελίωσης των μαθηματικών. Στον Π. οφείλονται πολλοί από τους συμβολισμούς της μαθηματικής λογικής, που διατηρούνται ακόμα και σήμερα (σε αυτόν οφείλεται για παράδειγμα το σύμβολο , που χρησιμοποιείται για να δηλώσουμε ότι ένα στοιχείο ανήκει σε ένα σύνολο· έτσι α Α σημαίνει: το α ανήκει στο σύνολο Α). Ιδιαίτερα γνωστή είναι η αξιωματική θεμελίωση του Π. για το σύνολο των φυσικών αριθμών (αξιώματα του Π.), η οποία στηρίζεται σε 5 αξιώματα. To 5o (κατά τη σειρά, που διατυπώνεται) είναι το εξής: αν Ψ είναι ένα υποσύνολο του συνόλου (των φυσικών αριθμών) με την ιδιότητα: για ν Ψ έπειτα ότι (ν + 1) Ψ, τότε το Ψ είναι το ίδιο με το . Στο αξίωμα αυτό βασίζεται η σπουδαία μέθοδος απόδειξης προτάσεων που ισχύουν για κάθε φυσικό αριθμό και που χαρακτηρίζεται ως μέθοδος της τελείας επαγωγής. Με τη μέθοδο αυτή μπορούν να αποδειχθούν προτάσεις του τύπου– για κάθε φυσικό αριθμό ισχύει: Είναι επίσης γνωστή η συμβολή του στη θεμελίωση της ευκλείδειας γεωμετρίας, στην οποία ο Π. θεώρησε ως βασική έννοια την έννοια της κίνησης, δηλαδή της ένα προς ένα απεικόνισης του επιπέδου (ως συνόλου των σημείων του) στον εαυτό του, που απεικονίζει (μετασχηματίζει) τις ευθείες του σε ευθείες διατηρώντας τη διάταξη. Το σύνολο των κινήσεων είναι τέτοιο, ώστε, αν ε και ε’ είναι ημιευθείες του επιπέδου με αρχικά σημεία (αντίστοιχα) Ρ, P’, τότε υπάρχει μια κίνηση, που φέρει το Ρ στο P’ και την ε στην ε’. Με την κίνηση ορίζεται η ισότητα (δυο σχήματα είναι ίσα εάν, και μόνον εάν, υπάρχει μια κίνηση, που φέρει το ένα σε σύμπτωση με το άλλο) και η μελέτη των σχημάτων σε σχέση με τις κινήσεις δίνει την ευκλείδεια γεωμετρία.